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我和小乐讲数学(9)

今天的解题过程不太一样,照例你看对话即可。


吃晚饭前,小乐说:老爸,这次有道题目我觉得都要做出来了,但最后总是差一口气。

乐爸:哦,说给我听听。


      

小乐第一个吃完饭,就拿了题目过来。

小乐:第一小题简单,主要是第二小题。

坐在椅子上,小乐在白板上画图。我坐在远处边吃边看,可能小乐坐着的缘故,画的图中平行或垂直看起来不是很靠谱。小家伙画了,也是自己觉得不好,用手指头擦擦又重新画,画了擦,擦了画,擦的心情都不好了。

小乐:老爸,能不能不在白板上画图呀。

乐爸:不在白板上,我们俩很难一起讨论呀。


无奈只有在白板上继续,好不容易画了一个图出来。


乐爸:有哪些条件呢?

小乐:∠ACB=45°;BG和AE垂直;O 是中点,AO=OC;AB=AE。

乐爸:要求什么呢?

小乐:证明DF=√2 GC。


小乐:GE连起来是90度就好了(∠EGC=90°)

乐爸:为什么呀?

小乐:√2 GC就是EC,EF∥CD,那就和DF相等了。



今天的题目我事先没做,听得糊里糊涂,都没跟上节奏。

乐爸:但不对呀,题目上的图看EF和CD不平行,你是不是画了一个特殊的图形。根据条件看,EF也不一定和CD平行,可能你得重新画个图。

小乐同学不得不在板上擦一部分,重新画一部分。

手指擦白板的声音像放了个屁,估计心情更懊恼了,想对我生气来着,可又没地方能生我的气。



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小乐:老爸,我就是对你生不出气来。

乐爸:😄。


乐爸:想想,如果要画出EF不和CD平行,你要调整什么?

小乐想了想后说:把AB画的更陡一点。

重新画完后的结果。

小乐在图上做了两条辅助线,一条是从G点垂直于BC,交BC于Q点;还有一条是等腰三角形ABC的角平分线AP。


小乐:我要是能证明△ABP≌△BGQ就好了。

乐爸:为什么?

小乐解释了一遍,我还是没能跟上节奏,她只有在白板上给我写。

小乐:如果两个三角形全等的话,BP = PE = GQ = QC,那GC = √2GQ,这样BE=2GQ=√2GC。

乐爸:嗯,有道理。


不过我也没搞清楚如何证明,我的第一感觉是告诉我从BC上选择另外一个点来做一条垂直于GC的辅助线,这样得到的GH直接就是√2GC,只需要证明HC和FD相等就好了。



此时小乐按她的思路苦想无果,我就把我的想法提了出来。

乐爸:这样会不会好点?

小乐:也不见得。

话虽如此说,但她也开始调整,按我的方式来一起看,解题中。


乐爸:第一小题对我们有帮助吗?

小乐:第一小题就是告诉两条边长,求三角形的面积。

乐爸:哦,那个简单,好像没啥用。


乐爸:我们来看看哪些条件都已经用了?

小乐:就只有BG和AE垂直没有用。

乐爸:嗯,BG和AE垂直怎么用呢?


俩人这个思路下苦思,辅助线越做越多。我不由感叹:感觉这条路不通哎。


小乐:我要先去洗澡了。

乐爸:嗯,我再看看。



既然这条路走不通,我回过头去重新思考刚才小乐选择的作图方向。自己在白板上又画了个图,看着看着,觉得这三角形ABG难道是个等边三角形,但又一想,这样∠ABC就成了75°,岂不是变成一个确定角度的平行四边形,不应该啊。


心中存有疑问,决定画图来验证。我画了下面的两个图,一个方一点,一个扁一点,如此一看明显∠ABC 是不确定值的。但这时我惊喜地发现从两个图来看,AB和BG十有八九是相等的,这不正是小乐最开始想要证明的两个三角形全等吗?(△ABJ≌△BGI)



有希望了,我重新审视所有的条件。我在上图的右边列出了所有的条件,并在推导过程中将条件和对应步骤画上连线。

  • O 是中心,用了

  • AB=AE,用了

  • ∠ACB=45°,用了

  • BG⊥AE,居然也用了。(这是上一种假设中我们一直没能用到的条件)


可是要证明△ABJ≌△BGI,有两个角相等,还少一条边,不过此时我坚定方向是对的,而且从两个图看,要选择的边就是AB和BG,只需要证明这是个等腰三角形,也就是∠BAG和∠AGB相等,再细看,它们分别是45°角加上∠BAJ和∠GBC,而∠BAJ和∠GBC是相等的。


✌️终于证明了。


等到小乐洗完澡出来。

小乐:老爸,你怎么样了?

乐爸:搞定了。

于是我把证明的思路和小乐讲了一遍。

小乐:那我去把题目写一下。

乐爸:先总结一下。

小乐:从结论出发,把√2利用45°角转成边,不过这里的转化有两个方向。

乐爸:是的,两个方向相当于我们有两个假设要去做验证,其实你一开始选择的是对的,不过老爸并没有能给你确定的信息。后来我们走到了另一个假设,但发现辅助线越做越复杂,说明方向可能错了。

小乐:是呀。

乐爸:后面的解题老爸来总结。

  • 画图很重要,画的准确很重要,尽量不要选择特殊图形,因为特殊图形往往会给你误导,使人的思路陷在一个圈中原地打转。

  • 老爸在验证假设中画了两个不同的非典型的图,这样直观地看出正确之路的方向,可以帮助坚定信心。

  • 然后在推导过程中,去看是否所有的条件都已经用上了,用连线一项一项列出来有助于理清楚,不然都在脑子里是会混乱的。(人的工作记忆是有限的,把内容列出来在解题中很关键)

小乐:老爸,不过你用草稿纸是真够费的,我的草稿本一下就给你用完了。

乐爸:这是我做题目的特点。


反思:

这次讲题是一次新的方式,或者说很像我以前采取的方式,觉得题目自己基本能做出来,往往不提前做准备,但在实际解题过程中自己不一定能及时打开思路,所以无法给小乐确切的反馈,往往很费时,而且也不一定成功。最近每周和小乐讲题目,一般我都会先把题目做一遍,题目会做了,这有助于俩人讨论解题时给与合适的引导。像今天的题目小乐一开始选对了方向,如果我事先做过题目,可能回复的“嗯嗯啊啊”也会给她更确切的信息。而一旦没有一个确切的“嗯嗯啊啊”,再加上图形不够准确,解题过程就显得信心不足,很容易快速走到另一个假设方向。


但换个角度看,没有给确切信息是另一种挑战,这正是她在考试中独自需要面对的情况。我想在每周和小乐讲题的对话过程中能养成的思考习惯,也正是要她在一个人面对时,也能有序、独立地去思考、假设和验证,今天的题目正是这样的一次尝试,虽然结果是我俩当时没有能解出题目。


不过对于刚开始和孩子讲数学的家长,我建议开始还是先自己做一遍题目,思考下如何引导孩子解题的方法,找到能让孩子听懂的解题语言。要让孩子走出舒适区,合适的挑战难度也很重要。


以前和小乐讲的数学:

  • 一小时说完初中数学

  • 我和小乐讲数学(1)

  • 我和小乐讲数学(2)

  • 我和小乐讲数学(3)

  • 我和小乐讲数学(4)

  • 我和小乐讲数学(5)

  • 我和小乐讲数学(6)

  • 我和小乐讲数学(7)

  • 我和小乐讲数学(8)



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